张朝阳的物理课-揭秘-星球内部的爱因斯坦场方程与TOV方程

在球对称星球的内部，爱因斯坦场方程描述了物质对时空的影响。球对称星球内的爱因斯坦场方程与真空情况下的方程有所不同。TOV方程则是描述球对称星球内部压强分布的方程。

张朝阳的物理课中，介绍了爱因斯坦场方程的一般形式以及静态球对称情况下的能动张量。他强调了能动张量的守恒关系，并讨论了张量的指标升降关系。通过代入静态球对称度规，张朝阳推导出了描述内部压强分布的TOV方程。TOV方程在牛顿极限下则演化为了流体静平衡方程。

张朝阳的课程还涉及了爱因斯坦场方程中的张量概念，特别强调了R是标量曲率，在每个时空点都对应着一个标量值。他解释了能动张量在球对称情况下的性质，并通过爱因斯坦张量的散度性质展示了能量和动量的守恒。TOV方程的推导则是建立在这些理论基础之上的。

在张朝阳的课堂中，还介绍了张量指标的升降关系，以及度规对张量指标升降的作用。他展示了如何通过度规的上下指标分量与爱因斯坦场方程进行缩并，得到了一上一下指标的爱因斯坦场方程。这种上下指标的处理方式为理解爱因斯坦场方程提供了更简洁的形式。

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爱因斯坦场方程怎样解

.爱因斯坦场方程：R_uv-1/2*R*g_uv=κ*T_uv（Rμν-（1/2）gμνR=8GπTμν/（c*c*c*c） -gμν）说明：这是一个二阶张量方程，R_uv为里契张量表示了空间的弯曲状况。 T_uv为能量-动量张量，表示了物质分布和运动状况。 g_uv为度规，κ为系数，可由低速的牛顿理论来确定。 _后字母为下标，^后字母为上标。 意义：空间物质的能量-动量（T_uv）分布＝空间的弯曲状况（R_uv）解的形式是：ds^2=Adt^2+Bdr^2+Cdθ^2+Ddφ^2式中A,B,C,D为度规g_uv分量。 考虑能量－动量张量T_uv的解比较复杂。 最简单的就是让T_uv等于0，对于真空静止球对称外部的情况，则有施瓦西外解。 如果是该球体内部的情况，或者是考虑球体轴对称的旋转，就稍微复杂一点。 还有更复杂的星云内部或外部的情况，星云内部的星球还要运动、转动等。 这些因素都要影响到星云内部的曲面空间。 2.含宇宙常数项的场方程：R_uv-1/2*R*g_uv+Λ*g_uv=κ*T_uv此处的Λ是宇宙常数，其物理意义是宇宙真空场。 Λ*g_uv为宇宙项。 如果从数学上理解的话，则上面的场方程也可解出下面的形式：ds^2=Adt^2+Bdr^2+Cdθ^2+Ddφ^2式中A,B,C,D为度规g_uv分量。 这里的ds就是表达空间弯曲程度的一小段距离。 同时因为4维空间与时间有关，ds随时间也会变化。 这时，如果没有宇宙项，ds随时间是增大的，宇宙就是膨胀的。 如果加了宇宙项，选取适当的Λ值，ds不随时间变化，宇宙就是稳定的。 如果从物理意义上理解的话，把宇宙项移到式右边，则是：R_uv-1/2*R*g_uv=κ*T_uv-Λ*g_uvΛ项为负值，起到了斥力的作用，即宇宙真空场与普通物质场之间存在着斥力。 宇宙项和通常物质场的引力作用起到了平衡的作用，所以可得到稳定的宇宙解。

想了解爱因斯坦场方程的基本概念，看此文即可

导读：想了解爱因斯坦场方程的基本概念，看此文即可。 对于爱氏的场方程，我们也应该这样。 不要害怕你看不懂的东西，去勇敢的接近它，理解它，才是真的。 哪怕是爱氏自己对自己的方程，其实也不是那么了解。 不然爱氏不会说：“想象力比知识更重要！”去看看爱氏场方程的建立，和后续的解方程历史，你们就会赞同我说的话。 爱氏场方程如下图所示： 还可以写成这样，两者是一样的【字写的不好，大家见谅】： 其中： G_uv {\displaystyle G_{\mu \nu }\,}称为爱因斯坦张量。 · R_uv {\displaystyle R_{\mu \nu }\,}是从黎曼张量缩并而成的里奇张量，代表曲率项，表示空间弯曲程度。 · R是从里奇张量缩并而成的标量曲率(或里奇数量)· g_uv {\displaystyle g_{\mu \nu }\,}是从(3+1)维时空的度量张量；· T_uv {\displaystyle T_{\mu \nu }\,}是能量-动量-应力张量，表示了物质分布和运动状况。 · G是引力常数， · c是真空中光速。 整个方程式的意义是：空间物质的能量-动量（T_uv）分布=空间的弯曲状况（R_uv）。 爱氏以此推断引力的成因是时空弯曲。 但我不这样推断。 看过我前面内容的朋友，应该知道我认为引力的本源是时空，不是时空弯曲。 时空是弯曲的，但不是时空弯曲产生引力。 空间物质的能量-动量（T_uv）分布等于空间的弯曲状况（R_uv），是在描述空间的状态，不是说空间的弯曲状况（R_uv）产生了引力。 等于和产生是两个概念，爱氏就是受时空背景影响而产生这样的推理。 而我是从引力质量和惯性质量严格相等，以及弯曲的时空不能量子化，得到启发，从而提出引力的本源是时空！ 接着回到爱氏场方程，我并不奢望大家都可以深刻认识场方程，更不会让大家推理，我们都需要学习的东西太多了。 但我希望大家对这个方程有直观的认识，有感官上的想象，去理解方程里牵涉到些什么东西，然后你可以想象宇宙会是咋样的？ 也是一件美不可言的事情。 但是大家看到了，这个方程是一个二阶非线性张量方程，还是复杂的。 我们有必要了解基础的专业名词，再来看场方程。 这也是我要给大家科普的东西。 什么是标量：物理学中，标量（或作纯量）指在坐标变换下保持不变的物理量。 如质量、密度、温度、功、能量、速率、体积、时间、热量、电阻、功率、势能、电势能等物理量。 无论选取什么坐标系，标量的数值恒保持不变。 我在本书《变化》第三十五章《时间的本质说明》一文中曾指出，物理学中的基本物理量，比如质量，时间，温度都是标量，这在我看来是有深意的，那就是最基本的标量都是和时空“挂钩”，都显示出了最基本层面的描述以及应用范围。 所以把它们一个个深挖，是非常有必要的。 1、什么叫矢量：有些物理量，既要有数值大小（包括有关的单位），又要有方向才能完全确定。 这些量之间的运算并不遵循一般的代数法则，而遵循特殊的运算法则，这样的物理量叫作矢量。 力矩、线速度、角速度、位移、加速度、动量、冲量、角动量、场强、速度等都是矢量1、什么叫动量： 在物理学中， 动量 是与物体的质量和速度相关的物理量。 一般而言，一个物体的动量指的是这个物体在它运动方向上保持运动的趋势。 动量是 矢量 ，用符号p表示。 公式是 p=m·v。 说到动量，大家一定记得动量守恒定律：一个系统不受外力或所受外力之和为零，这个系统的总动量保持不变，这个结论叫做动量守恒定律。 这里还值得一提是： 动量守恒定律和能量守恒定律以及角动量守恒定律一起成为现代物理学中的三大基本守恒定律。 最初它们是牛顿定律的推论， 但后来发现它们的适用范围远远广于牛顿定律，是比牛顿定律更基础的物理规律， 是时空性质的反映。 其中，动量守恒定律由空间平移不变性推出，能量守恒定律由时间平移不变性推出，而角动量守恒定律则由空间的旋转对称性推出。 众多守恒定律，也是我不支持爱氏宇宙有限的理论观点。 这个我在前面也提到过，即宇宙在时间和空间上都是无限的。 而且守恒定律不仅在宏观领域成立，在量子力学领域也成立。 比如通过β衰变，使得中微子的发现说明，能量守恒定律在微观领域里也是完全适用的。 2、什么叫能量：能量是物质运动转换的量度，简称“能”。 世界万物是不断运动的，在物质的一切属性中，运动是最基本的属性，其他属性都是运动的具体表现。 能量是表征物理系统做功的本领的量度。 爱氏拓宽了我们对物质和能量的认识。 能量（energy）是质量的时空分布可能变化程度的度量,用来表征物理系统做功的本领。 现代物理学已明确了质量与能量之间的数量关系，即爱因斯坦的质能关系式：E=mc2。 3、什么叫张量：张量是一个定义一些向量空间和一些对偶空间的笛卡儿积上的多重线性映射，其坐标是|n|维空间内，有|n|个分量的一种量， 其中每个分量都是坐标的函数， 而在坐标变换时，这些分量也依照某些规则作线性变换。 r 称为该张量的秩或阶（与矩阵的秩和阶均无关系）。 张量之所以重要，在于它可以满足一切物理定律必须与坐标系的选择无关的特性。 这也是为相对论研究相对时空下的不变性做了基础数学奠基。 张量概念是矢量概念的推广，矢量是一阶张量。 张量是一个可用来表示在一些矢量、标量和其他张量之间的线性关系的多线性函数。 在同构的意义下，第零阶张量 （r = 0） 为标量 ，第一阶张量 （r = 1） 为向量 ， 第二阶张量 （r = 2） 则成为矩阵 。 上面说了，爱氏的场方程是一个二阶张量方程，也就是意味着爱氏的方程可以写成矩阵方程。 我们现在看到的是简洁的方程。 从代数角度讲， 它是向量的推广。 我们知道，向量可以看成一维的“表格”（即分量按照顺序排成一排），矩阵是二维的“表格”（分量按照纵横位置排列）， 那么n阶张量就是所谓的n维的“表格”。 张量的严格定义是利用线性映射来描述的。 与矢量相类似，定义由若干坐标系改变时满足一定坐标转化关系的有序数组成的集合为张量。 爱氏理论的建立也得益于张量分析的发展，广义相对论完全由张量语言表述，爱因斯坦从列维-奇维塔本人那里学了很多张量语言。 甚至可以这样说，没有张量语言的发展，爱氏的弯曲时空理论，就缺乏描述工具，不能建立。 而且我在此书的开头也说过，爱氏的理论受马赫原理启发很大。 所以一个伟大的天才，也需要出现在恰当的时间和地点，才能成就伟大的事业！ 爱氏的场方程是一个非线性二阶张量方程，用黎曼几何来描述时空背景。 我特性注重要用“非线性”三个字，实在是我的哲学理念就是这样认为宇宙的。 宇宙是非线性的，我甚至将我的散文集命名为《非线性波动》，也是时刻告诉自己，一定要有坚持的观点。 对于宇宙是非线性的系统我从不怀疑，而爱氏的理论正好也是这样的，所以我不否认爱氏理论的正确性。 从各个哲学角度来讲，也应该是这样的。 这是我在写这本书开头的时候就说了。 摘自独立学者，科普作家，艺术家灵遁者科普书籍《变化》

爱因斯坦场方程如何求解？

找到爱因斯坦场方程的简单解的一种方法是假设高度对称。 Schwarzschild 解决方案就是这样。 它是一种静态（不随时间变化）、球对称的真空解。 这告诉我们度量可以写成对角线形式，而在球面空间坐标中，它只取决于径向坐标。 简而言之，使用坐标 [ t , r , θ , φ ] 我们可以将度量写为 Gμ ν=⎛⎝⎜⎜⎜⎜一个( r )0000- B ( r )0000−r−r2没有2θ⎞⎠⎟⎟⎟⎟. 从度量中计算爱因斯坦张量的前两个对角项有点乏味，但并不难：Gt _Gr _=一个（乙rr +乙2- B )乙2r2,=一种rr - A B + A一种r2, 我使用速记的地方 一种r= d一个/天r . 这确实是我们所需要的。 由于解是真空解，爱因斯坦张量中的项必须全部为零。 我们只有两个未知函数，我们现在有两个从上面提取的一阶微分方程： 乙rr +乙2-乙一种rr - A B + A=0,=0. 第一个方程可以很容易地通过重新排列和积分来求解，所以我们得到 乙=rr -C1, 在哪里 C1 是一些积分常数。 将其代入第二个方程，我们可以解出 一种 : 一个=C2r -C1r, 在哪里 C2 是另一个积分常数。 的价值 C1 通过将度量与弱场近似值进行比较来确定： C1= 2克米_/C2 匹配质量的引力场 米 ( G 是牛顿常数， C 是光速。 ）和 C2 确定我们是否要确保离中心很远，我们得到 Minkowski 度量： C2=C2 . 那么，我们有： Gμ ν=⎛⎝⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜C2−2通用汽车r通用汽车C2r−−r−r2没有2θ⎞⎠⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟. 这就是 Schwarzschild 解决方案。 也存在其他简单（虽然不是这么简单）的解决方案。 事实上，有许多方法可用于生成爱因斯坦场方程的解。 实际上，我的书架上有一本相当厚的书，Stephani 等人的爱因斯坦场方程的精确解。 （剑桥，2003 年），致力于这个主题。

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